例えば、結果的にその会社を１年以内に辞めてしまっても、受給した再就職手当の返還は求められません。失業保険の受給日数が残っていたため、再就職手当の手続きをし、今審査中です。

再就職手当は…
わたしは今年の1月末で会社都合により解雇されました。
その後、失業保険の手続きをし、就職活動をし、3月1日から就職が決まり、働いています。

失業保険の受給日数が残っていたため、再就職手当の手続きをし、今審査中です。
まだ受給できるかわかりませんが、もし再就職手当を受給した後で、不正受給になる行動などはございますでしょうか？

今のところ、辞めるつもりもないのですが、参考までによろしくお願い致します。

再就職手当を一旦受給してしまえば、その後の行動についてはなんら制限はありません。例えば、結果的にその会社を１年以内に辞めてしまっても、受給した再就職手当の返還は求められません。

失業保険についてですが

自己都合で会社を辞めて､ハローワークで9月に失業を申請しました。3ヶ月の待機期間を経て12月から失業手当てを受給出来るのですが。

ハローワーク以外の所で11月末から正社員で働ける所が決まりました。

その場合は一切受給
出来ないのですか？
支度金とかも
貰えないのですか？

基本手当の支給はありません。
※支度金なんて制度は雇用保険にはありません、再就職手当のことでしょう。
再就職手当に関しては、給付制限期間が1ヶ月を過ぎていればハローワークの紹介以外での就職でも受給出来ます。
就職が決まった会社に、雇用保険の手続きをした時にもらった雇用保険利用のしおりの最終ページに添付されている採用証明書を書いてもらい、ハローワークに届出手続きをすれば、就職日から約1ヶ月後にその会社に在籍確認が行われ、在籍が確認出来た時点で支給の手続きに入り2週間以内程度で指定口座に振込がされます。

失業保険について質問です。
10月初旬に自己都合で退職し、会社より、離職票が届きました。
会社を辞めてから、すぐにアルバイトが決まり、現在【週4日： 20時間月86時間程度】を
働いています。
生活のため、アルバイトをしながら
就職活動をしているのですが、
受給は不可能でしょうか？
再就職手当てとかがでるのでしょうか？

ハローワークのHPで調べたのですが、良く分かりませんでした。

※現在のアルバイト先では雇用保険は加入してません。

お手数ですが、回答をお願いいたします。

質問の回答ですが、まずはアルバイトをしながらだと受給資格は無くなりますので出ません、再就職手当てってのは聞いた事も無いので、あくまで収入の見込みが無いと分かった場合の救済処置が雇用保険ですから…、後は自己都合で退職だと雇用保険の受給資格の認定が降りても、その日から3ヶ月待たなければなりません、さらに、その3ヶ月の間にちゃんと就職活動の記録がチェックされます、最低1ヶ月に3回ハローワークで紹介を受けて、面接まで行った記録が無いと認定日で弾かれます、反対に、倒産とかリストラとかの会社都合なら、受給資格の認定が降り、1週間後に支給されます、後は、雇用保険の加入じゃない職場はまずいですね、昔は別に加入しなくてもよかったらしいですが現在は企業に対して加入するのが義務付けられていますので・・・（罰則規定もあり、6ヶ月以下の懲役、または30万円の罰金）多いのは日雇いの土建屋とかですね、役所の指導を何回受けても直さないのがパターンです、そのうち、市役所から請求書が送られてくると思います、税金大国日本ですから、何かと面倒くさいですね、参考にならなかったかもしれませんが、就職活動頑張ってください

海外赴任予定の夫に同行する場合、妻は失業保険の給付を延長できると聞いたのですが（今月退職予定）、具体的にどのような書類で証明すればよいのでしょうか。
住民票など異動する必要があるのでしょうか。また離職票の理由欄に「夫の海外転勤に同行」などという一言をかきそえなければならないのでしょうか。
お願いします。

受給期間の延長の申請を職安でして下さい。
最大３年プラスされます。
離職票には特に記載不要です。
証明書類としてはご主人の辞令などで大丈夫です。
出国後ならパスポートでいいです。
（一時帰国の際手続きするなら）

そのような事態になってから１ヶ月後にならないと手続きできないのでその前なら職安で預かりという形になるかもしれません。